動力學問題分析：華山論劍之顯隱式動力學分析

2017-02-27 by:CAE仿真在線來源:互聯網

如若將有限元法處理動力學問題比作武林之華山,以Newmark法居尊的隱式派與以中心差分法為長的顯式派近年來各自閉關修行,越發爐火純青,劍指對方,咄咄逼人,以致勢同水火。高手過招難免令各位看官眼花繚亂,且聽老夫為你細細道來,自成一言,言多休怪。

如今這兩派在有限元處理動力學問題的方面已牢牢站穩腳跟,正如北少林,南武當,除此之外誰敢王。

典宗

武林講究尋源溯宗,且看二者身出東方還是天外飛仙。

在求解動力學問題時,將方程在空間上采用有限元法(或其他方法)進行離散后,變為常微分方程組F=M(u)+C(u)+K(u)。求解這種方程的其中兩種方法為,中心差分法和Newmark法。采用中心差分法解決動力學問題被稱為顯式算法,采用Newmark法解決動力學問題被稱為隱式算法。

隱式求解咬定[K]*{A}={F}青山不放松,需要求解非線性方程組,通過迭代方法獲得近似解。動態問題涉及到時間域的數值積分方法問題,在上世紀80年代中期以前,人們基本上采用Newmark法進行時間域的積分。在紐曼法中任一時刻的位移、速度、加速度都相互關聯,這就使得運動方程的求解變成一系列相互關聯的非線性方程的求解,這個求解過程必須通過迭代和求解聯立方程組才能實現。這就是通常所說的隱式求解法。

顯式求解是對時間進行差分,不存在迭代和收斂問題,最小時間步取決于最小單元的尺寸。過多和過小的時間步往往導致求解時間非常漫長,但總能給出一個計算結果。解題費用非常昂貴。

利器

正所謂刀如屠龍,倚天不出,誰與爭鋒?且看二者利器如何鋒芒畢露。

洪家鐵線拳腳法應也犀利,十二路譚腿雙拳亦很給力。二者從概念上來講其實很泛,都可以進行靜力學分析和動力學分析。

隱式求解法最大的優點是它具有無條件穩定性,即時間步長可以任意大(以K求逆的代價獲得)。能提供更有力的整體逼近,通過反復迭代保證結果精度。

對于顯式分析,當前時刻的位移只與前一時刻的加速度和位移有關,這就意味著當前時刻的位移求解無需迭代過程。不存在收斂問題。當使用集中質量矩陣時,不需要求解線性方程組。

硬傷

習武之人如修金鐘罩者陽氣護體,刀劍難損,然一旦被攻入氣門,則脆弱不堪。二者各自都有硬傷,且聽老夫道來。

隱式求解法可能遇到兩個問題。一是迭代過程不一定收斂,二是聯立方程組可能出現病態而無確定的解。不考慮慣性和阻尼情況下,隱式需要求解[k] {u}={F},由于無條件穩定,可以使用大的時間步長。然而,由于材料非線性和幾何非線性使得剛度矩陣不斷更新,F為體積力、面力和集中載荷的總成矩陣,計算步長受精度限制,對于高度非線性問題(如碰撞、爆炸等)不能保證收斂。且每次迭代都需要求解大型線性方程組,過程需要占用相當數量的計算資源、磁盤空間和內存。

顯式求解的缺點是時間步長受到數值積分穩定性的限制,不能超過系統的臨界時間步長。因此,時間步長需要劃分很細很細。

盡管隱式編程相對較難,然而其結果更為準確。當然,如果保證顯式解法的小小時間步長,顯式結果也十分可信。

應用范圍

雖然佛道一家,畢竟各承衣缽。

大多數非線性動力學問題一般多是采用顯式求解方法,特別是在求解大型結構的瞬時高度非線性問題時,顯式求解方法有明顯的優越性。

為了確定單元內力,兩種算法都求解節點加速度,區別在于計算節點加速度的方式。隱式用直接法求解一系列的線性方程組。而顯式算法采用集中質量的方法使質量矩陣對角化,這樣不需經過迭代即可求解相互獨立的多個方程。并且采用中心差分法對時間進行離散化,即假定加速度為常數以求得速度的變化,用這個速度的變化值加上前一個時間段中點的速度來確定當前時間段的中點速度:速度沿時間積分的結果加上此時間段開始時的位移,確定了時間段結束時的位移。這樣,在時間段開始時,提供了滿足動力學平衡條件的加速度。

知道了加速度,通過對時間的“顯式”求解,可以進一步求出速度和位移。所謂的“顯式”是指時間段結束時的形態僅取決于此時間段開始時的位移、速度和加速度。為了得到精確的結果,時間增量段必須分得足夠小以保證加速度在時間段中近似為常數,一般的分析需要成千上萬個時間段。但由于不必同時求解聯立方程,每一個增量計算成本較低,大部分的計算機資源消耗在計算確定作用在節點上的單元內力上。

使用顯式方法,計算成本消耗與單元數量成正比,并且大致與最小單元的尺寸成反比。應用隱式方法,經驗表明對于許多問題的計算成本大致與自由度數目的平方成正比,因此如果網格是相對均勻的,隨著模型尺寸的增長,顯式方法比隱式方法更加節省計算成本。

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