非線性動力學發展歷史概述

2017-02-27 by:CAE仿真在線來源:互聯網

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作者:陳立群,力學系教授,上海大學“長江學者”特聘教授,長期從事動力學、振動和控制的研究,提出了內共振能量采集、整星非線性吸振器等新思路,發現了內共振中雙跳躍演化的新現象,并發展了陀螺連續體攝動分析、混沌參賽開閉環控制等新方法。所發表論文被SCI收錄150余篇,SCI檢索他人引用2000余次。

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人們對非線性問題的認識至少可以上溯到1673年C. Huygens對擺的研究,他觀察到單擺大幅擺動對等時性的偏離以及兩只頻率接近時鐘的同步化兩類非線性現象。1687年I. Newton發表的運動定律表明動力學問題本質上是非線性的。但直到上世紀30年代才有非線性力學這一名稱,內容是經典的非線性振動理論。

而非線性動力學這個名稱在70年代中后期才逐漸使用,以概括對混沌、分岔和分形問題的研究?；煦绲臍v史已有大量研究,但分岔的歷史發展較少涉及。本文擬概述非線性動力學的歷史發展,依據史料除個別原始文獻外,主要取自部分重要論文的結集和專著。

1. Poincare的奠基性工作和對非線性現象的早期認識

上世紀末H. Poincare的工作為非線性動力學的發展奠定了基礎。Poincare開創了動力學問題研究的一個全新方向:定性理論。在1881年至1886年的一系列論文中,他討論了二階系統奇點的分類,引入了極限環概念并建立了極限環的存在判據,定義了奇點和極限環的指數。

在此之前的1879年,他建立了分岔研究中其重要作用的范式理論的雛形。1885年他研究了分岔問題。1890年他證明了不可積系統的存在。1892年他論證了攝動法的合理性,為促進了非線性系統近似解析方法的研究。1894年他發現了伴隨橫截同宿點產生的復雜運動現象。1905年他明確地闡明了對初值敏感依賴而導致的不可預測性。

上世紀20年代以來非線性振動的研究使得對非線性系統與線性系統的本質差別已有所認識。1918年G. Duffing和1926年van der Pol對典型非線性振動系統的研究揭示了次諧振動、自激振動等非系統系統的特性。1929年А. А. Андронов將Poincare的極限環概念與自激振動建立了聯系,他隨后對平面動態系統的定性特征進行了全面的研究。在20,30年代,Н. М. Крылов,Н. Н. Боголюбов和Ю. А. Митропольский等發展了非線性系統近似解析方法。

2. 混沌的研究

對混沌現象的廣泛研究促使非線性動力學迅速發展。就不可預測性的物理概念而言,1955年M. Born和1964年L. Brillouin分別闡發Poincare的思想而指出經典動力學系統中存在產生于不穩定性的不確定性。就非周期性的數學描述而言,1921年H. M. Morse引進了符號動力學方法,1963年S. Smale構造了馬蹄映射。近可積保守系統的非周期性運動產生機制由А. Н. Колмогоров 在1954年所揭示,他的結論后來由В .И .Арнольд和J. Moser嚴格證明而稱為KAM定理。

計算機的發展為混沌研究提供新的手段。一系列重要的數值結果驗證了混沌的存在,包括1963年E. N. Lorenz的簡化熱對流模型、1964年M. Henon和C. Heiles的2自由度保守系統模型、1973年上田和林千博的受迫非線性振動模型以及1976年M. Henon的存在奇怪吸引子的2維映射模型。

奇怪吸引子的概念是1971年D. Ruelle和F. Takens提出的。1975年李天巖和J. A. Yorke嘗試對區間映射給出混沌的數學定義。1976年R. M. May對1維映射中復雜動力學行為的研究使得混沌受到普遍關注。70年代后期,混沌與分岔和分形相交融,使得非線性動力學的研究工作更加深入和廣泛。

3. 分岔的研究

上世紀70年代原來獨立發展的分岔理論匯入非線性動力學主流之中。分岔現象的發現可以上溯到1729年P. Musschenbrock對壓桿失穩實驗的觀察,1744年L. Euler從撓曲線角度進行了理論分析。固體力學中將這類分岔稱為屈曲。1877年Lord Rayliegh開始發展分岔的數學理論,并在1883年利用系統參數的分岔成功地解釋了1831年Faraday和1868年Matthiessen關于振動流體實驗的不同結果。1883年O. Reynolds發現在臨界數時層流轉變為湍流的現象,這種運動分岔在流體力學中稱為轉捩。

1885年Poincare的工作標志分岔理論的創立。1938年Андронов 和Л. С. Понтрягин 建立了分岔和動態系統結構穩定性的關系。作為數學分支,分岔理論在60年代已基本形成。1972年R. Thom宣傳的突變理論曾使得分岔理論中的奇異性方法受到廣泛注意。1971年Rulle和Takens提出環面分岔進入混沌,到1982年這種進入混沌的途徑基本清楚。1978年F. J. Feigenbaum發現了倍周期分岔進入混沌途徑的普適規律。1980年Y. Pomeou和P. Manneville發現了伴隨鞍結分岔的陣發性進入混沌的途徑。這些工作建立了分岔和混沌的聯系。

4. 非線性動力學中分形的研究

上世紀70年代開創的分形幾何對非線性動力學的深入和普及都起了重要作用。1880年Poincare和F. Klein關于自反演的工作已涉及分形的若干方面。1875年G. Cantor構造的集合(事實上,由Smith于1875年首先發明)和1904年H. Von Koch設計的曲線是分形的典型例子。1918年F. Hausdorff定義了維數,它不必局限為整數。

上世紀20年代,P. Fatou和G. Julia Fatou和Julia在復變映射的研究中對揭示分形現象作出重要貢獻。1975年B. B. Mandelbrot開創了分形幾何以處理具有自相似性和無標度性的破碎幾何形體,80年代以后引起公眾對非線性現象尤其是分形的極大熱情。80年代初分形被E. Ott, D. Farmer, P. Grassberger, I. Procaccia等眾多研究者用以刻劃混沌運動在相空間中對應的奇怪吸引子。80年代中、后期,S. W. McDonald , C. Grebogi , E. Ott , J. A. Yorke等用分形描述多吸引子系統吸引盆的邊界,并提出了不同于混沌的初值敏感性的終態敏感性概念。分形的概念也在繼續發展。多重分形和胖分形概念都應用于動力學。

5. 結束語

從歷史發展看,對非線性現象的研究需要多個學科的交叉。純粹和應用數學理論如動態系統理論、奇異性理論、攝動理論等,理論和實驗力學概念和方法如工程現象的力學建模、應用力學規律解釋動力學行為、固體和流體系統實驗研究等,以及電子計算機的數值和符號運算,均為分析非線性問題的重要工具。在多學科交叉的基礎上,形成了非線性動力學這一新的分支學科。

隨著對非線性動力學研究的深入,機遇、因果、決定論等人類認識自然的基本概念和范疇需要重新認識。非線性動力學的研究導致了一種新的實驗方式,數值實驗的產生和廣泛應用。非線性動力學的研究也促進了數學、物理、力學中相關學科的發展,同時也日益在工程技術、生物醫學和社會科學中顯示出廣闊的應用前景。

參考文獻

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