有限元方法的基礎：變分原理和加權余量法

2017-06-04 by:CAE仿真在線來源:互聯網

一、有限元方法的基礎是變分原理和加權余量法

有限元法的基本求解思想是把計算域劃分為有限個互不重疊的單元,在每個單元內,選擇一些合適的節點作為求解函數的插值點,將微分方程中的變量改寫成由各變量或其導數的節點值與所選用的插值函數組成的線性表達式 ,借助于變分原理或加權余量法,將微分方程離散求解。采用不同的權函數和插值函數形式,便構成不同的有限元方法。

在有限元方法中,把計算域離散剖分為有限個互不重疊且相互連接的單元,在每個單元內選擇基函數,用單元基函數的線形組合來逼近單元中的真解,整個計算域上總體的基函數可以看為由每個單元基函數組成的,則整個計算域內的解可以看作是由所有單元上的近似解構成。

常見的有限元計算方法是由變分法和加權余量法發展而來的里茲法和伽遼金法、最小二乘法等。根據所采用的權函數和插值函數的不同,有限元方法也分為多種計算格式。從權函數的選擇來說,有配置法、矩量法、最小二乘法和伽遼金法,從計算單元網格的形狀來劃分,有三角形網格、四邊形網格和多邊形網格,從插值函數的精度來劃分,又分為線性插值函數和高次插值函數等。不同的組合同樣構成不同的有限元計算格式。

對于權函數,伽遼金(Galerkin)法是將權函數取為逼近函數中的基函數 ;最小二乘法是令權函數等于余量本身,而內積的極小值則為對代求系數的平方誤差最小;在配置法中,先在計算域內選取N個配置點。令近似解在選定的N個配置點上嚴格滿足微分方程,即在配置點上令方程余量為0。插值函數一般由不同次冪的多項式組成,但也有采用三角函數或指數函數組成的乘積表示,但最常用的多項式插值函數。

有限元插值函數分為兩大類,一類只要求插值多項式本身在插值點取已知值,稱為拉格朗日(Lagrange)多項式插值;另一種不僅要求插值多項式本身,還要求它的導數值在插值點取已知值,稱為哈密特(Hermite)多項式插值。單元坐標有笛卡爾直角坐標系和無因次自然坐標,有對稱和不對稱等。

常采用的無因次坐標是一種局部坐標系,它的定義取決于單元的幾何形狀,一維看作長度比,二維看作面積比,三維看作體積比。在二維有限元中,三角形單元應用的最早,近來四邊形等參元的應用也越來越廣。對于二維三角形和四邊形電源單元,常采用的插值函數為有Lagrange插值直角坐標系中的線性插值函數及二階或更高階插值函數、面積坐標系中的線性插值函數、二階或更高階插值函數等。

對于有限元方法,其基本思路和步驟可歸納為:

(1) 建立積分方程,根據變分原理或方程余量與權函數正交化原理,建立與微分方程初邊值問題等價的積分表達式,這是有限元法的出發點。

(2) 區域單元剖分,根據求解區域的形狀及實際問題的物理特點,將區域剖分為若干相互連接、不重疊的單元。區域單元劃分是采用有限元方法的前期準備工作,這部分工作量比較大,除了給計算單元和節點進行編號和確定相互之間的關系之外,還要表示節點的位置坐標,同時還需要列出自然邊界和本質邊界的節點序號和相應的邊界值。

(3) 確定單元基函數,根據單元中節點數目及對近似解精度的要求,選擇滿足一定插值條件的插值函數作為單元基函數。有限元方法中的基函數是在單元中選取的,由于各單元具有規則的幾何形狀,在選取基函數時可遵循一定的法則。

(4) 單元分析:將各個單元中的求解函數用單元基函數的線性組合表達式進行逼近;再將近似函數代入積分方程,并對單元區域進行積分,可獲得含有待定系數(即單元中各節點的參數值)的代數方程組,稱為單元有限元方程。

(5) 總體合成:在得出單元有限元方程之后,將區域中所有單元有限元方程按一定法則進行累加,形成總體有限元方程。

(6) 邊界條件的處理:一般邊界條件有三種形式,分為本質邊界條件(狄里克雷邊界條件、自然邊界條件(黎曼邊界條件)、混合邊界條件(柯西邊界條件)。對于自然邊界條件, 一般在積分表達式中可自動得到滿足。對于本質邊界條件和混合邊界條件,需按一定法則對總體有限元方程進行修正滿足。

(7) 解有限元方程:根據邊界條件修正的總體有限元方程組,是含所有待定未知量的封閉方程組,采用適當的數值計算方法求解,可求得各節點的函數值

二、Comsol軟件采用的是加權余值法

有限元法的最主要的一個特點就是把要求的方程偏微分形式轉化成積分形式,而這一過程主要通過兩個途徑:加權余值法和變分法。而等效積分弱形式是針對加權余值法來說的。把強形式轉化為弱形式,是前期有限元的核心技術;隨著技術的進步和發展,才慢慢將變分法引入到有限元,從一定程度上說,變分法比加權余值更加先進合理。

其實現在的變分法還在逐漸進步和發展,當然也有一些爭議,比如對我國胡海昌院士提出的廣義變分原理獨立變量數目的爭議,但總體來說,變分法是優越于加權余值法的。這也是為什么大部分商業cae軟件采用變分法的原因(COMSOL,FEPG除外)!

將微分方程轉化為弱形式,這個弱并不是弱化對方程解的結果,而是弱化對解方程得要求,具體點是弱化待求變量的連續性,當然這種弱化是以提高權函數的連續性為代價的。通過引入權函數或試函數,將微分方程轉化為等效積分方程,要使這一積分形式有解或者說存在,就必須對權函數和待求變量加以限制,將等效積分形式分步積分,得到的形式就稱為等效積分弱形式。因為分步積分后,算子導數階次降低,對待求變量的連續性降低,這就起到了弱化作用,將近似解帶入微分方程會有余值,而這余值形式中又有我們前面引入的權函數,所以我們把這種余值的加權積分,稱為加權余值法,這一名稱應該就是這么來的。

為了保證微分形式和積分形式是等效的 ,引入的權函數必須任意的,如果選權函數為待求變量解前面的形函數,那么這一形式就變成我們所說的伽遼金法(Galerkin法),因此可以說,伽遼金法是眾多加權余值法中的一種,都是在近似試函數中選擇參數,得到近似解。而里茲法(Ritz) 是基于變分原理的。有些人總不分變分和加權殘值法,其實這兩種方法是不同的,雖然有時候是等效的。

個人最為推崇的有限元理論基礎是微分方程的“弱積分形式”,因為它的適用范圍更廣。前面大家說的,虛位移原理,最小勢能原理或者是哈密頓原理,變分原理....都是限于力學問題的。其實這里的幾種方法都可以看做是力學變分原理的推導結果,說白了,分析力學上面都有這些內容。

對于非力學問題,我們很難采用上面的原理,說到變分呢,如果不能構造相應的泛函,變分形式就難以獲得。反觀“等效積分弱形式”,可以包括所有的問題,由此,我們可以建立迦遼金形式的標準有限元和非標準有限元。

加權余量求解偏微分方程步驟:

(1) 初步選取嘗試函數、構造近似解;

(2) 結合問題的邊界條件對嘗試函數進行修正,以簡化求解;

(3) 寫出余數表達式;

(4) 寫出加權余數表達式(迦遼金方法選取加權函數);

(5) 令權余數表達式在各嘗試函數下為0,得到代數方程組,解之得到待定系數,從而確定近似解。

有限元方法的基礎：變分原理和加權余量法ansys結構分析圖片1