搜索有限元分析時(shí)是網(wǎng)格畫(huà)的越細(xì)越精確嗎？
2016-11-10 by:CAE仿真在線(xiàn) 來(lái)源:互聯(lián)網(wǎng)
誠(chéng)然網(wǎng)格畫(huà)到無(wú)窮小,剛度矩陣無(wú)窮大,但這樣沒(méi)法計(jì)算,那網(wǎng)格畫(huà)到什么層度精度最高?
總所周知,網(wǎng)格是有限元分析非常重要的一部分,結(jié)構(gòu)離散后的網(wǎng)格質(zhì)量直接影響到求解時(shí)間及求解結(jié)果的正確性,那網(wǎng)格畫(huà)到什么層度精度最高?
元王小編認(rèn)為在單元選用合理、計(jì)算假設(shè)合理、網(wǎng)格劃分合理的前提下,單元數(shù)量越多,結(jié)果越接近理論解。
很多時(shí)候,提高單元數(shù)量對(duì)于計(jì)算精度的提高,遠(yuǎn)遠(yuǎn)比不過(guò)選用更好更合理的單元類(lèi)型。對(duì)于不同的求算對(duì)象,所需要的單元數(shù)量也不相同。一般來(lái)說(shuō),求算應(yīng)力需要比求算位移更多的單元,而求算剪應(yīng)力需要比正應(yīng)力更多的單元。
舉一個(gè)常見(jiàn)小例子,平面應(yīng)力問(wèn)題,計(jì)算一根懸臂梁的變形和應(yīng)力:
懸臂梁的寬度為1,彈性模量30000,泊松比0.3,自由端承受豎向荷載100。求解A點(diǎn)的豎向位移、B點(diǎn)的正應(yīng)力、C點(diǎn)的剪應(yīng)力。
分別選用不同類(lèi)型的四種單元計(jì)算,包括三節(jié)點(diǎn)三角形 CSTG、六節(jié)點(diǎn)三角形 LST、四節(jié)點(diǎn)四邊形 IPLQ、八節(jié)點(diǎn)四邊形 IPQQ。
首先計(jì)算位移和應(yīng)力的理論解:
A 點(diǎn)的豎向位移為0.895,B 點(diǎn)的正應(yīng)力為90,C 點(diǎn)的剪應(yīng)力為7.5。
然后分別用不同數(shù)量的四種單元進(jìn)行比較計(jì)算,所用軟件為 GT STRUDL,單元名稱(chēng)按照 GT STRUDL 的命名,計(jì)算結(jié)果是這樣的:
隨著單元數(shù)量的增多,位移、正應(yīng)力和剪應(yīng)力結(jié)果都趨近于理論解。
對(duì)于不同的單元類(lèi)型,趨近理論解的速度完全不同。同樣是32個(gè)單元,CSTG 的位移結(jié)果是0.5072,正應(yīng)力是33.11,與真實(shí)解 0.895 和 90 相差甚遠(yuǎn)。而32個(gè)單元的 LST 結(jié)果為0.8978和88.68,已經(jīng)很接近于理論解 0.895 和 90。
同樣是64個(gè)單元,IPLQ 的結(jié)果為 0.8715 、89.52,而 IPQQ 的結(jié)果則達(dá)到了 0.8999、90.01,可以說(shuō)正應(yīng)力結(jié)果已經(jīng)非常非常接近理論解。
如果比較一下四邊形單元的結(jié)果和三角形單元的結(jié)果,差異更加明顯。對(duì)于位移結(jié)果來(lái)說(shuō),2000個(gè)CSTG單元的精度也比不上4個(gè)IPQQ單元的精度。
如果橫坐標(biāo)為單元數(shù)量,縱坐標(biāo)為計(jì)算結(jié)果,繪制一張收斂圖像的話(huà),對(duì)于位移來(lái)說(shuō)是這樣的:
對(duì)于這四種單元類(lèi)型,要想達(dá)到類(lèi)似的可以接受的精度水平,需要的單元數(shù)量完全不同。
根據(jù)上面的分析,想要得到精度可以接受的計(jì)算結(jié)果,CSTG 需要2000多個(gè)單元,而 IPQQ 僅需要64個(gè)。
所以結(jié)論就是,提高單元數(shù)量的確會(huì)提高計(jì)算精度,但前提是單元類(lèi)型合理高效。對(duì)于提高精度來(lái)說(shuō),更合理的方法是選用更好的單元,而不是盲目的提高單元數(shù)量。
PS:Abaqus 的官方幫助文檔里同樣舉了類(lèi)似的例子,比較了同樣的懸臂梁不同單元、不同網(wǎng)格下的梁端位移的計(jì)算結(jié)果,結(jié)論也是類(lèi)似的。
Abaqus 的結(jié)果如下:
不同單元在四種網(wǎng)格尺寸(1x6、2x12、4x12、8x24)下的計(jì)算結(jié)果與理論解的比值
CPS4:0.074,0.242,0.242,0.561
CPS8:0.994,1.000,1.000,1.000
CPS4R:20,1.308,1.051,1.012
CPS8R:1.000,1.000,1.000,1.000
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